直線和圓的位置關系及切線的性質(zhì)教案

1．理解直線和圓的相交、相切、相離三種位置關系；(重點)

2．掌握直線和圓的三種位置關系的判定方法； (難點)

3．掌握切線的性質(zhì)定理，會用切線的性質(zhì)解決問題．(重點)

一、情境導入

在紙上畫一條直線，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點個數(shù)的變化情況嗎？公共點個數(shù)最少時有幾個？最多時有幾個？

二、合作探究

探究點一：直線和圓的位置關系

【類型一】判定直線和圓的位置關系

已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO＝3，則直線AB與⊙O的位置關系為()

A．相切 B．相交

C．相切或相離 D．相切或相交

解析：因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于3，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D.

方法總結(jié)：判斷直線和圓的位置關系，必須明確圓心到直線的距離．特別注意：這里的3不一定是圓心到直線的距離．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

【類型二】根據(jù)直線和圓的位置關系，求線段的長或取值范圍

在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，CD⊥AB于點D，若以點C為圓心，以2cm長為半徑的圓與斜邊AB相切，那么BC的長等于()

A．2cm B．2cm

C．2cm D．4cm

解析：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵以點C為圓心，以2cm長為半徑的圓與斜邊AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝＝＝2(cm)．故選B.

方法總結(jié)：解決問題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用直線和圓的三種位置關系解答．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題

【類型三】在平面直角坐標系中，解決直線和圓的位置關系的問題

如圖，在平面直角坐標系中，已知⊙O的半徑為1，動直線AB與x軸交于點P(x，0)，且滿足直線AB與x軸正方向夾角為45，若直線AB與⊙O有公共點，則x的取值范圍是()

A．－1≤x≤1 B．－＜x＜

C．0≤x≤ D．－≤x≤

解析：當直線AB與⊙O相切且與x軸正半軸相交時，設切點為C，連接OC.∵直線AB與x軸正方向夾角為45，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半徑為1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝＝，∴點P的坐標為(，0)．同理可得，當直線AB與x軸負半軸相交時，點P的坐標為(－，0)，∴x的取值范圍為－≤x≤.故選D.

方法總結(jié)：解決本題要熟知直線和圓的三種位置關系，關鍵是有公共點的情況不要遺漏．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題

探究點二：切線的性質(zhì)

【類型一】利用切線的性質(zhì)求線段長

如圖，CB是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PB＝2，PA切⊙O于A點，PA＝4.求⊙O的半徑．

解析：設圓的半徑是x，利用勾股定理可得關于x的方程，求出x的值．

解：如圖，連接OA，∵PA切⊙O于A點，∴OA⊥PA.設OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半徑為3.

方法總結(jié)：運用切線的性質(zhì)來進行計算或證明時，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

【類型二】圓的切線與相似三角形的綜合

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于E，連接CD.

(1)求證：點E是邊BC的中點；

(2)求證：BC2＝BDBA；

(3)當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形．

解析：(1)利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明；(2)利用相似三角形證明；(3)利用正方形的性質(zhì)證明．

證明：(1)如圖，連接OD.∵DE為切線，∴∠EDC＋∠ODC＝90.∵∠ACB＝90，∴∠ECD＋∠OCD＝90.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90，∴∠BDE＋∠EDC＝90，∠B＋∠ECD＝90，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即點E為邊BC的中點；

(2)∵AC為直徑，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝BDBA；

(3)當四邊形ODEC為正方形時，∠OCD＝45.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90，∴∠CAD＝180－∠ADC－∠OCD＝180－90－45＝45，∴Rt△ABC為等腰直角三角形．

方法總結(jié)：本題的綜合性比較強，但難度不大，解決問題的關鍵是綜合運用學過的知識解答．另外，連接圓心和切點，構(gòu)造直角三角形也是解題的關鍵．

【類型三】圓的切線與三角函數(shù)的綜合

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線與AD的延長線交于F點．

(1)求證：∠ABC＝∠F；

(2)若sinC＝，DF＝6，求⊙O的半徑．

解析：(1)由切線的性質(zhì)得AB⊥BF，因為CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠F，由圓周角定理的推論得∠ABC＝∠ADC，于是證得∠ABC＝∠F；(2)連接BD.由直徑所對的圓周角是直角得∠ADB＝90，因為∠ABF＝90，然后運用解直角三角形解答．

(1)證明：∵BF為⊙O的切線，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；