商品利潤最大問題教案

1．應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題中的最值問題；(重點)

2．應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數(shù)量關(guān)系，從而得到函數(shù)關(guān)系，再求最值．(難點)

一、情境導(dǎo)入

某商店經(jīng)營T恤衫，已知成批購進(jìn)時單價是25元．根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價是135元時，銷售量是500件，而單價每降低10元，就可以多售出200件．請你幫忙分析，銷售單價是多少時，可以獲利最多？

課件教案

二、合作探究

探究點一：商品利潤最大問題

【類型一】利用二次函數(shù)求實際問題中的最大利潤

某體育用品店購進(jìn)一批單價為40元的球服，如果按單價60元銷售，那么一個月內(nèi)可售出240套，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應(yīng)減少20套．設(shè)銷售單價為x(x≥60)元時，銷售量為y套．

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單件為多少元時，月銷售額為14000元？

(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解析：(1)由銷售單價為x元得到銷售減少量，用240減去銷售減少量得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)直接用銷售單價乘以銷售量等于14000，列方程求得銷售單價； (3)設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．

解：(1)銷售單價為x元，則銷售量減少20，故銷售量為y＝240－20＝－4x＋480(x≥60)；

(2)根據(jù)題意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合題意，舍去)，故當(dāng)銷售價為70元時，月銷售額為14000元；

(3)設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.當(dāng)x＝80時，w有最大值，最大值為6400.

所以，當(dāng)銷售單價為80元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是6400元．

方法總結(jié)：先得到二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，當(dāng)a＜0，x＝h時，y有最大值k；當(dāng)a>0，x＝h時，y有最小值k.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題

某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程．右面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤w(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和w和銷售時間t之間的關(guān)系)．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)由圖象上已知的信息，求累積利潤w(萬元)與銷售時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元；

(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元．

解析：(1)本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題，應(yīng)根據(jù)圖象以及題目中所給的信息來列出w與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)把w＝30代入累計利潤w＝t2－2t的函數(shù)關(guān)系式里，求得月份；(3)分別將t＝7，t＝8代入函數(shù)解析w＝t2－2t，再把總利潤相減就可得出．

解：(1)由圖象可知其頂點坐標(biāo)為(2，－2)，故可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為w＝a(t－2)2－2.∵所求函數(shù)關(guān)系式的圖象過(0，0)，于是得a(0－2)2－2＝0，解得a＝.∴函數(shù)關(guān)系式為w＝(t－2)2－2，即w＝t2－2t.

所以，累積利潤w與銷售時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝t2－2t；

(2)把w＝30代入w＝t2－2t，得t2－2t＝30.解得t1＝10，t2＝－6(不合題意，舍去)．

所以，截止到10月末公司累積利潤可達(dá)30萬元；

(3)把t＝7代入關(guān)系式，得w＝72－27＝10.5，把t＝8代入關(guān)系式，得w＝82－28＝16.16－10.5＝5.5(萬元)．

所以，第8個月公司所獲利潤是5.5萬元．

方法總結(jié)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，尤其是對本題圖象中所給信息的理解是解決問題的關(guān)鍵．

【類型二】綜合運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)求最大利潤

宿松超市以每件20元的價格進(jìn)購一批商品，試銷一階段后發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖(20≤x≤60)．

(1)求每天銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若該商品每天的利潤為w(元)，試確定w(元)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大，最大利潤是多少？

解析：(1)當(dāng)20≤x≤40時，設(shè)y＝ax＋b，當(dāng)40＜x≤60時，設(shè)y＝mx＋n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；(2)利用(1)中所求進(jìn)而得出w(元)與售價x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)最值．

解：(1)分兩種情況：當(dāng)20≤x≤40時，設(shè)y＝ax＋b，根據(jù)題意，得解得故y＝x＋20；當(dāng)40＜x≤60時，設(shè)y＝mx＋n，根據(jù)題意，得解得故y＝－2x＋140.

故每天銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)表達(dá)式是y＝

(2)w＝

①當(dāng)20≤x≤40時，w＝x2－400，由于1＞0，因而拋物線開口向上，且x＞0時w隨x的增大而增大，又20≤x≤40，因此當(dāng)x＝40時，w有最大值，w最大值＝402－400＝1200；②當(dāng)40＜x≤60時，w＝－2x2＋180x－2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0，拋物線開口向下，又40＜x≤60，所以當(dāng)x＝45時，w有最大值，w最大值＝1250.

綜上所述，當(dāng)x＝45時，w最大值＝1250.

所以，售價為45元/件時，每天的利潤最大，最大利潤是1250元．

方法總結(jié)：一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用問題主要解決的是圖象與性質(zhì)的問題或生活中的實際應(yīng)用問題．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

【類型三】利用表格信息求最大利潤

某商店經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：