商品利潤最大問題教案

1．應用二次函數(shù)解決實際問題中的最值問題；(重點)

2．應用二次函數(shù)解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數(shù)量關系，從而得到函數(shù)關系，再求最值．(難點)

一、情境導入

某商店經營T恤衫，已知成批購進時單價是25元．根據(jù)市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在一段時間內，單價是135元時，銷售量是500件，而單價每降低10元，就可以多售出200件．請你幫忙分析，銷售單價是多少時，可以獲利最多？

課件教案

二、合作探究

探究點一：商品利潤最大問題

【類型一】利用二次函數(shù)求實際問題中的最大利潤

某體育用品店購進一批單價為40元的球服，如果按單價60元銷售，那么一個月內可售出240套，根據(jù)銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應減少20套．設銷售單價為x(x≥60)元時，銷售量為y套．

(1)求出y與x的函數(shù)關系式；

(2)當銷售單件為多少元時，月銷售額為14000元？

(3)當銷售單價為多少元時，才能在一個月內獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解析：(1)由銷售單價為x元得到銷售減少量，用240減去銷售減少量得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式； (2)直接用銷售單價乘以銷售量等于14000，列方程求得銷售單價； (3)設一個月內獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．

解：(1)銷售單價為x元，則銷售量減少20，故銷售量為y＝240－20＝－4x＋480(x≥60)；

(2)根據(jù)題意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合題意，舍去)，故當銷售價為70元時，月銷售額為14000元；

(3)設一個月內獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.當x＝80時，w有最大值，最大值為6400.

所以，當銷售單價為80元時，才能在一個月內獲得最大利潤，最大利潤是6400元．

方法總結：先得到二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，當a＜0，x＝h時，y有最大值k；當a>0，x＝h時，y有最小值k.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程．右面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤w(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和w和銷售時間t之間的關系)．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)由圖象上已知的信息，求累積利潤w(萬元)與銷售時間t(月)之間的函數(shù)關系式；

(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；

(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元．

解析：(1)本題是通過構建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題，應根據(jù)圖象以及題目中所給的信息來列出w與t之間的函數(shù)關系式；(2)把w＝30代入累計利潤w＝t2－2t的函數(shù)關系式里，求得月份；(3)分別將t＝7，t＝8代入函數(shù)解析w＝t2－2t，再把總利潤相減就可得出．

解：(1)由圖象可知其頂點坐標為(2，－2)，故可設其函數(shù)關系式為w＝a(t－2)2－2.∵所求函數(shù)關系式的圖象過(0，0)，于是得a(0－2)2－2＝0，解得a＝.∴函數(shù)關系式為w＝(t－2)2－2，即w＝t2－2t.

所以，累積利潤w與銷售時間t之間的函數(shù)關系式為w＝t2－2t；

(2)把w＝30代入w＝t2－2t，得t2－2t＝30.解得t1＝10，t2＝－6(不合題意，舍去)．

所以，截止到10月末公司累積利潤可達30萬元；

(3)把t＝7代入關系式，得w＝72－27＝10.5，把t＝8代入關系式，得w＝82－28＝16.16－10.5＝5.5(萬元)．

所以，第8個月公司所獲利潤是5.5萬元．

方法總結：此題主要考查了二次函數(shù)的性質在實際生活中的應用，首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，尤其是對本題圖象中所給信息的理解是解決問題的關鍵．

【類型二】綜合運用一次函數(shù)和二次函數(shù)求最大利潤

宿松超市以每件20元的價格進購一批商品，試銷一階段后發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關系如圖(20≤x≤60)．

(1)求每天銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關系式；

(2)若該商品每天的利潤為w(元)，試確定w(元)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關系式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大，最大利潤是多少？

解析：(1)當20≤x≤40時，設y＝ax＋b，當40＜x≤60時，設y＝mx＋n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；(2)利用(1)中所求進而得出w(元)與售價x(元/件)的函數(shù)表達式，進而求出函數(shù)最值．

解：(1)分兩種情況：當20≤x≤40時，設y＝ax＋b，根據(jù)題意，得解得故y＝x＋20；當40＜x≤60時，設y＝mx＋n，根據(jù)題意，得解得故y＝－2x＋140.

故每天銷售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)表達式是y＝

(2)w＝

①當20≤x≤40時，w＝x2－400，由于1＞0，因而拋物線開口向上，且x＞0時w隨x的增大而增大，又20≤x≤40，因此當x＝40時，w有最大值，w最大值＝402－400＝1200；②當40＜x≤60時，w＝－2x2＋180x－2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0，拋物線開口向下，又40＜x≤60，所以當x＝45時，w有最大值，w最大值＝1250.

綜上所述，當x＝45時，w最大值＝1250.

所以，售價為45元/件時，每天的利潤最大，最大利潤是1250元．

方法總結：一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應用問題主要解決的是圖象與性質的問題或生活中的實際應用問題．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題

【類型三】利用表格信息求最大利潤

某商店經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：