弧長(zhǎng)及扇形的面積教案

1．了解扇形的概念，理解n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式并熟練掌握它們的應(yīng)用；(重點(diǎn))

2．通過復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式，探索n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝和扇形面積S扇＝的計(jì)算公式，并應(yīng)用這些公式解決一些問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

課件教案

如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90.你能求出這段鐵軌的長(zhǎng)度嗎(π取3.14)?

我們?nèi)菀卓闯鲞@段鐵軌是圓周長(zhǎng)的，所以鐵軌的長(zhǎng)度l≈＝157(米). 如果圓心角是任意的角度，如何計(jì)算它所對(duì)的弧長(zhǎng)呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：弧長(zhǎng)公式

【類型一】求弧長(zhǎng)

如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭盒，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭盒側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)度為()

A.cm B.cm C.cm D．7πcm

解析：∵字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，∴此弧所對(duì)的圓心角為90.由題意可得R＝cm，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)＝＝(cm)．故選B.

方法總結(jié)：解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角及半徑，代入弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題

【類型二】利用弧長(zhǎng)公式求半徑或圓心角

(1)已知扇形的圓心角為45，弧長(zhǎng)等于，則該扇形的半徑是________；

(2)如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是，那么此扇形的圓心角的大小為________．

解析：(1)若設(shè)扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得＝，解得R＝2；(2)根據(jù)弧長(zhǎng)公式得＝，解得n＝60，故扇形圓心角的大小為60.故答案分別為2；60.

方法總結(jié)：逆用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式可求出相應(yīng)扇形的圓心角和半徑．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題與第4題

【類型三】圓的切線與弧長(zhǎng)公式的綜合

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC＝∠D.

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)當(dāng)BC＝4，AB＝8時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．

解析：(1)連接BC，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ACB＝90，又由∠EAC＝∠D，則可得AE是⊙O的切線；(2)首先連接OC，易得∠ABC＝60，則可得∠AOC＝120，由弧長(zhǎng)公式，即可求得劣弧AC的長(zhǎng)．

(1)證明：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BAC＋∠ABC＝90.又∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；

(2)解：如圖，連接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30，∴∠ABC＝60，∴∠AOC＝120.∴劣弧AC的長(zhǎng)＝＝.

方法總結(jié)：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．

探究點(diǎn)二：扇形的面積公式

【類型一】求扇形面積

一個(gè)扇形的圓心角為120，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為________(結(jié)果保留π)．

解析：把圓心角和半徑代入扇形面積公式S＝＝＝3π.故答案為3π.

方法總結(jié)：公式中涉及三個(gè)字母，只要知道其中兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)．扇形面積還有另外一種求法S＝lr，其中l(wèi)是弧長(zhǎng)，r是半徑．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題

【類型二】求陰影部分的面積

如圖，扇形AOB中，半徑OA＝2，∠AOB＝120，C是的中點(diǎn)，連接AC、BC，則圖中陰影部分的面積是()

A.－2

B．2π－2

C.－

D.－

解析：連接OC，過O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120，C為中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠BOC＝60.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等邊三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，∴△AOC的邊AC上的高OM＝＝，△BOC邊BC上的高為，∴陰影部分的面積是(－2)2＝－2.故選A.

方法總結(jié)：本題考查了扇形的面積、三角形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解決此題要利用扇形的面積公式求出各部分的面積．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型三】求不規(guī)則圖形的面積

如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則以格點(diǎn)為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為()

A．4π－2

B．2π－2

C．4π－4

D．2π－4

解析：連接AB，由題意得陰影部分面積＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2(－22)＝2π－4.故選D.