角平分線的性質教案

1．經(jīng)歷角的平分線性質的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質定理；(重點)

2．能運用角的平分線性質定理解決簡單的幾何問題．(難點)

一、情境導入

問題：在S區(qū)有一個集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．

問題1：怎樣修建道路最短？

問題2：往哪條路走更近呢？

二、合作探究

探究點一：角平分線的性質

【類型一】利用角平分線的性質證明線段相等

如圖，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，∠FDC＝∠BDE.試說明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

解析：(1)根據(jù)角平分線的性質，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即DE＝DC.再根據(jù)△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質可得△ADC和△ADE全等，從而得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉化進行求解．

解：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；

(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90.在△ADC和△ADE中，∵∴△ADC≌

△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法總結：角平分線的性質是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．

【類型二】角平分線的性質與三角形面積的綜合運用

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是( )

解析：過點D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝42＋AC2＝7，解得AC＝3.故選D.

方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．

【類型三】角平分線的性質與全等三角形綜合

如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).試說明：CE＝CF.

解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根據(jù)角平分線的性質，得出CE＝CF.

解：∵CD是∠ACG的平分線，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵

∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.

方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．

【類型四】角平分線的性質與線段垂直平分線性質的綜合運用

如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.

(1)找出圖中相等的線段；

(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．

解析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；(2)由條件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質可得OE＝OF.

解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.

方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．

【類型五】角平分線的性質與等腰三角形的性質綜合的探究性問題

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.

(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；

(2)請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．

(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．

解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE為角平分線，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形．由∠C＝45，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分線，AE⊥AB，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關于BE與△DBE對稱，可得出BE⊥AD；(3)根據(jù)(2)，可知△ABE關于BE與△DBE對稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

(2)AD與BE垂直．理由如下：由BE為∠ABC的平分線，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90，BE＝BE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合，∴A、D是對稱點，∴AD⊥BE；

(3)∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，∴∠C＝45.又∵ED⊥BC，∴△DCE為等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

探究點二：角平分線的畫法

如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.若∠ACD＝120，求∠MAB的度數(shù)．