正弦函數、余弦函數的圖像 教學設計（2）

由于三角函數是刻畫周期變化現(xiàn)象的數學模型，這也是三角函數不同于其他類型函數的最重要的地方，而且對于周期函數，我們只要認識清楚它在一個周期的區(qū)間上的性質，那么它的性質也就完全清楚了，因此本節(jié)課利用單位圓中的三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯(lián)系性等來作圖，從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點，得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖．

課程目標

1.掌握“五點法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點法”作出簡單的正弦、余弦曲線.

2.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系.

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：正弦曲線與余弦曲線的概念；

2.邏輯推理：正弦曲線與余弦曲線的聯(lián)系；

3.直觀想象：正弦函數余弦函數的圖像；

4.數學運算：五點作圖；

5.數學建模：通過正弦、余弦圖象圖像，解決不等式問題及零點問題，這正是數形結合思想方法的應用.

重點：正弦函數、余弦函數的圖象．

難點：正弦函數與余弦函數圖象間的關系．

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

遇到一個新的函數，非常自然地是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特殊點，并借助圖象研究它的性質，如：值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等．我們也很自然地想知道y＝sinx與y＝cosx的圖象是怎樣的呢？回憶我們在必修1中學過的指數函數、對數函數的圖象是什么？是如何畫出它們圖象的(列表描點法：列表、描點、連線)？請學生嘗試畫出當x∈[0,2π]時，y＝sinx的圖象．

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本196-199頁，思考并完成以下問題

1.任意角的正弦函數在單位圓中是怎樣定義的？

2．怎樣作出正弦函數y=sinx的圖像？

3.怎樣作出余弦函數y＝cos x的圖像？

4.正弦曲線與余弦曲線的區(qū)別與聯(lián)系.

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．正弦曲線、余弦曲線

(1)定義：正弦函數y＝sin x(x∈R)和余弦函數y＝cos x(x∈R)的圖象分別叫做 正弦 曲線和余弦曲線．

(2)圖象：如圖所示．

2．“五點法”畫圖

步驟：(1)列表：

(2)描點：畫正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，五個關鍵點是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．；

畫余弦函數y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象，五個關鍵點是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

(3)用光滑曲線順次連接這五個點，得到正、余弦曲線的簡圖．

3．正、余弦曲線的聯(lián)系

依據誘導公式cos x＝sin，要得到y(tǒng)＝cos x的圖象，只需把y＝sin x的圖象向左平移個單位長度即可．

四、典例分析、舉一反三

題型一 作正弦函數、余弦函數的簡圖

例1畫出下列函數的簡圖

(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．

【答案】見解析

【解析】(1)按五個關鍵點列表：

描點并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖1)．

圖1

(2)按五個關鍵點列表：

描點并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖2)．

圖2

解題技巧：（簡單三角函數圖像畫法）

1、五點作圖法：作正弦曲線、余弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點法作圖.“五點”即y＝sin x或y＝cos x的圖象在[0,2π]內的最高點、最低點和與x軸的交點.

2、圖象變換：平移變換、對稱變換、翻折變換.

跟蹤訓練一

1.畫出函數y＝|sinx|，x∈R的簡圖．

【答案】見解析．

【解析】按三個關鍵點列表：

描點并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖3)．

圖3

2. 在給定的直角坐標系如圖4中，作出函數f(x)＝cos(2x＋)在區(qū)間[0，π]上的圖象．

【答案】見解析．

【解析】列表取點如下：

描點連線作出函數f(x)＝cos(2x＋)在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖5所示．

圖4 圖5

題型二 正弦函數、余弦函數圖象的簡單應用

例2 求函數f(x)＝lg sin x＋的定義域.

【答案】見解析.

【解析】由題意，得x滿足不等式組即

作出y＝sin x的圖象，如圖所示.

結合圖象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).

例3 在同一坐標系中，作函數y＝sin x和y＝lg x的圖象，根據圖象判斷出方程sin x＝lg x的解的個數.

【答案】見解析.

【解析】建立平面直角坐標系xOy，先用五點法畫出函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，再依次向左、右連續(xù)平移2π個單位，得到y(tǒng)＝sin x的圖象.

描出點(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lg x的圖象，如圖所示.

由圖象可知方程sin x＝lg x的解有3個

解題技巧： (正弦函數、余弦函數圖象的簡單應用)

1.解不等式問題：三角函數的定義域或不等式可以借助函數圖象直觀地觀察得到，同時要注意區(qū)間端點的取舍.

2.方程的根(或函數零點)問題：三角函數的圖象是研究函數的重要工具，通過圖象可較簡便的解決問題，這正是數形結合思想方法的應用.

跟蹤訓練二

1.函數y＝的定義域為_________________________________.

【答案】，k∈Z.